Tableau à double entrée - Exemple 1

On considère deux événements  \(\text A\)  et  \(\text B\) d'un univers  \(\Omega\) .
Les probabilités des deux événements ainsi que celles de leurs événements contraires et leur intersection sont données dans le tableau suivant :

Calculons les probabilités conditionnelles  \(P_\text A(\text B)\) ,  \(P_\overline{\text A}(\text B)\) ,  \(P_\text B(\text A)\) et  \(P_\overline{ \text B}(\text A)\) , ainsi que les probabilités de leurs événements contraires.

On lit dans le tableau que  \(P(\text A) = P(\text A \cap \text B) + P(\text A \cap \overline{ \text B}) = 0,4 + 0,3 = 0,7\)  et que      \(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P(\overline{ \text A} \cap \text B) = 0,4 + 0,2 = 0,6\) .

Alors  \(P_\text A(\text B) = \dfrac{P(\text A \cap \text B)}{P(\text A) } = \dfrac{0,4}{0,7} = \dfrac{4}{7}\) . On en déduit  \(P_\text A(\overline{ \text B}) = 1 - P_\text A(\text B) = 1 - \dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7}\) .
On a  \(P_\overline{\text A}(\text B) = \dfrac{P(\overline{ \text A} \cap \text B)}{P(\overline{\text A}) } = \dfrac{0,2}{0,3} = \dfrac{2}{3}\) . On en déduit  \(P_\overline{\text A}(\overline{\text B}) = 1 - P_\overline{\text A}(\text B) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\) .
On a  \(P_\text B(\text A) = \dfrac{P(\text A \cap \text B)}{P(\text B) } = \dfrac{0,4}{0,6} = \dfrac{2}{3}\) . On en déduit  \(P_B(\bar A) = 1 - P_B(A) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\) . 
Et enfin, on a  \(P_\overline{\text B}(\text A) = \dfrac{P(\text A \cap \overline{\text B})}{P(\overline{\text B}) } = \dfrac{0,3}{0,4} = \dfrac{3}{4}\) . On en déduit  \(P_\overline{\text B}(\overline{\text A}) = 1 - P_\overline{\text B}(\text A) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\) .